Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+{a}^{2}}{x}$（a＞0）
（1）求证：函数f（x）在区间（0，a]上是减函数；
（2）如果函数f（x）在区间（0，2]上值域为[5，+∞），求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，并分解因式，由0＜x≤a，即可判断导数的符号，进而得到单调性；
（2）对a讨论，若a≥2，0＜a＜2，求得单调区间，可得最小值，解方程可得a的值．

解答 （1）证明：函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+{a}^{2}}{x}$（a＞0）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，
导数f′（x）=1-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-a）（x+a）}{{x}^{2}}$，
当0＜x≤a时，f′（x）≤0，
即有函数f（x）在区间（0，a]上是减函数；
（2）解：f′（x）=1-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-a）（x+a）}{{x}^{2}}$，
若a≥2，则f（x）在（0，2]递减，f（2）取得最小值，
且为2+$\frac{{a}^{2}}{2}$=5，解得a=$\sqrt{6}$（负的舍去）；
若0＜a＜2，即有f（x）在（0，a）递减，在（a，2）递增，
则x=a取得最小值，且为a+a=5，解得a=$\frac{5}{2}$（舍去）．
综上可得a=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用，考查导数的运用：求单调性，考查运算能力和分类讨论的思想方法，属于中档题．