Question

7．在等差数列{a_n}中，S₄=20，S₇=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件，利用等差数列前n项和公式，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由首项和公差求出前n项和，由a_n=-2n+10≥0，得n≥5，从而得到n≤5时，T_n=S_n；n≥6时，T_n=-S_n+2S₅，由此能求出T_n．

解答 解：（1）∵在等差数列{a_n}中，S₄=20，S₇=14，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=20}\\{7{a}_{1}+21d=14}\end{array}\right.$，解得a₁=8，d=-2，
∴a_n=8+（n-1）×（-2）=-2n+10．
（2）∵a₁=8，d=-2，
∴S_n=8n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=-n²+9n．
由a_n=-2n+10≥0，得n≥5，a₅=0，
∴n≤5时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=S_n=-n²+9n．
n≥6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-S_n+2S₅=-（-n²+9n）+2（-25+45）=n²-9n+40．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+9n，n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．