Question

2．二次函数y=-$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{9}{4}$x+3的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，AC．
（1）求线段AB的长，∠ABC的正切值；
（2）若点Q是该二次函数图象位于线段AC右上方部分的一点，且△QAC的面积为△AOC面积的$\frac{3}{4}$，求点Q
的坐标；
（3）如图2，D是线段BC上一动点，连接AD，过点D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，取AD的中点P，连接PE、PF，
①试问点D在线段BC上的运动过程中，∠EPF的大小是否改变？说明理由；
②连接EF，求△PEF周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）解方程-$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{9}{4}$x+3=0，可得A，B两点坐标，令x=0，可得C点坐标，结合勾股定理，解△ABC可得∠ABC的正切值；
（2）结合△QAC的面积为△AOC面积的$\frac{3}{4}$，可得Q点距AC为$\frac{9}{5}$，代入点到直线距离公式，可得答案；
（3）①根据圆内接四边形的判定定理，结合圆周角定理，可得∠EPF的大小不会改变；
②连接EF，△PEF周长为PE+PF+EF=AD+EF，利用余弦定理，得到△PEF周长为$\frac{8}{5}$AD，进而得到当AD⊥BC时，△PEF周长取最小值．

解答 解：（1）解-$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{9}{4}$x+3=0得：x=-1，或x=4，
故A，B两点的坐标分别为（-1，0）和（4，0），
故AB=5，
令x=0，则y=-$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{9}{4}$x+3=3，
故C点坐标为（0，3），
则AC=5，BC=$\sqrt{10}$，
故△ABC中BC边上的高为$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
故tan∠ABC=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$=3；
（2）∵点Q是该二次函数图象位于线段AC右上方部分的一点，
故点Q横坐标x₀∈（0，4），
∵△AOC面积S=$\frac{1}{2}$×4×3=6，△QAC的面积为△AOC面积的$\frac{3}{4}$，
故△QAC的面积为$\frac{9}{2}$，
由AC=5，故Q点距AC为$\frac{9}{5}$，
由Q点坐标为（x₀，-$\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}+\frac{9}{4}{x}_{0}+3$），AC的方程为：3x+4y-12=0，
故$\frac{9}{5}$=$\frac{|3{x}_{0}+4（-\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}+\frac{9}{4}{x}_{0}+3）-12|}{5}$，
解得x₀=1，或x₀=3，或x₀=2-$\sqrt{7}$（舍去），或x₀=2+$\sqrt{7}$（舍去），
故Q点的坐标为（1，$\frac{9}{2}$）或（3，3）；
（3）①∠EPF的大小不会改变，理由如下：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，P为AD的中点，
∴A，E，D，F四点均在以P为圆心，以AD为直径的圆上，
∵∠EPF=2∠EAF，
故∠EPF的大小不会改变；
②连接EF，△PEF周长为PE+PF+EF=AD+EF，
∵tan∠ABC=3，
∴tan∠BAC=$\frac{2×\frac{1}{3}}{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴cos∠EPF=$\frac{1-（\frac{3}{4}）^{2}}{1+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{7}{25}$，
∴EF=$\sqrt{{PE}^{2}+{PF}^{2}-2PE•PF•cos∠EPF}$=$\frac{6}{5}$PE=$\frac{3}{5}$AD，
故△PEF周长为$\frac{8}{5}$AD，
当AD⊥BC，即AD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$时，△PEF周长取最小值$\frac{12\sqrt{10}}{5}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．