Question

10．把曲线C：y=sin（$\frac{7π}{8}$-x）•cos（x+$\frac{π}{8}$）向右平移a（a＞0）个单位，得到的曲线C′关于直线x=$\frac{π}{4}$对称．
（1）求a的最小值；
（2）就a的最小值证明：当x∈（-$\frac{8π}{7}$，-$\frac{9π}{8}$）时，曲线C′上的任意两点的直线斜率恒大于零．

Answer 1

分析 （1）首先化简三角函数，然后根据C'图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称得到关于a的等式，对k取值，使a最小．
（2）利用（1）的结论，只要曲线C'的方程对应的导数在x∈（-$\frac{8π}{7}$，-$\frac{9π}{8}$）时大于0即可．

解答 解：（1）y=sin（$\frac{7π}{8}$-x）•cos（x+$\frac{π}{8}$）=sin（x+$\frac{π}{8}$）•cos（x+$\frac{π}{8}$）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），向右平移a个单位得到：y=$\frac{1}{2}$sin（2x-2a+$\frac{π}{4}$）关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，
则±$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$-2a+$\frac{π}{4}$），即sin（$\frac{3π}{4}$-2a）=±1，所以$\frac{3π}{4}-2a=kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，a＞0，所以a的最小值为$\frac{π}{8}$；
（2）由（1）得C'：y=$\frac{1}{2}$sin2x，所以y'=cos2x，x∈（-$\frac{8π}{7}$，-$\frac{9π}{8}$），则2x∈（$-\frac{16π}{7}，-\frac{9π}{4}$），cos2x＞0恒成立，
所以曲线C′上的任意两点的直线斜率恒大于零．

点评 本题考查了三角函数变形、平移变换以及导数的几何意义是运用．属于中档题．