Question

5．求证：$\frac{ln2}{2}$+$\frac{ln3}{3}$+$\frac{ln4}{4}$+…+$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{{n}^{2}}{2（n+1）}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 通过记f（x）=$\frac{lnx}{x}$，通过求导可知f（x）在（0，e）上为增函数、在（e，+∞）上为减函数，从而f（x）的最大值为f（e）=$\frac{1}{e}$，进而通过放缩即得结论．

解答 证明：记f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，可知x=e，
∴f（x）在（0，e）上为增函数、在（e，+∞）上为减函数，
∴f（x）的最大值为f（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，
∴$\frac{ln2}{2}$+$\frac{ln3}{3}$+$\frac{ln4}{4}$+…+$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{n-1}{e}$
＜$\frac{n-1}{2}$
＜$\frac{n-1}{2}$+$\frac{1}{2（n+1）}$
=$\frac{{n}^{2}}{2（n+1）}$（n∈N^*）．

点评 本题考查利用函数的单调性证明不等式，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．