Question

15．已知数列{a_n}和{b_n}，b₁=1，且b_n+1-3b_n=2（n-1），记a_n=b_n+1-b_n+1，n∈N^*．
（1）求证数列{a_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（3）记c_n=（log${\;}_{{a}_{n}}$3）•（log${\;}_{{a}_{n+2}}$3），数列{c_n}的前n项和为T_n，若45T_n＜29，k∈N^*恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过b_n+1-3b_n=2（n-1）与b_n-3b_n-1=2[（n-1）-1]（n≥2）作差、整理得b_n+1-b_n+1=3（b_n-b_n-1+1），进而可知数列{a_n}是以3为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知a_n=3ⁿ，进而b_n+1-b_n=-1+3ⁿ，利用累加法计算可知b_n=$\frac{1}{2}$•3ⁿ-n+$\frac{1}{2}$；
（3）通过（2）、裂项可知c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加可知T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵b_n+1-3b_n=2（n-1），
∴b_n-3b_n-1=2[（n-1）-1]（n≥2），
两式相减得：b_n+1-b_n-3b_n+3b_n-1=2，
整理得b_n+1-b_n+1=3（b_n-b_n-1+1），即a_n=3a_n-1，
故数列{a_n}是以3为公比的等比数列；
（2）由（1）及a₁=b₂-b₁+1=2b₁+2-1=3可知a_n=3ⁿ，
∵b_n+1-b_n+1=3ⁿ，∴b_n+1-b_n=-1+3ⁿ，
∴b_n-b_n-1=-1+3^n-1，b_n-1-b_n-2=-1+3^n-2，…，b₂-b₁=-1+3¹，
累加得：b_n-b₁=-（n-1）+$\frac{3-3•{3}^{n-1}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$•3ⁿ-n-$\frac{1}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{2}$•3ⁿ-n+$\frac{1}{2}$；
（3）由（2）可知c_n=（log${\;}_{{a}_{n}}$3）•（log${\;}_{{a}_{n+2}}$3）
=$lo{g}_{{3}^{n}}3$•$lo{g}_{{3}^{n+2}}3$
=$\frac{1}{n（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），
∴45T_k＜29等价于130-90（$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$）＜116，
∴$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$＞$\frac{19}{90}$=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{10}$，
∴k＜8，故k的最大值为7．

点评 本题是一道数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．