Question

【题目】已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出a的值，进而求出b的值，确定出椭圆方程即可；

（2）由直线AB与CD向量存在，设为k，表示出AB方程，设出A与B坐标，进而表示出M坐标，联立直线AB与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M，同理表示出N，根据M与N横坐标相同求出k的值，得到此时MN斜率不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直线MN，令y=0，求出x的值，得到直线MN恒过定点，综上，得到直线MN恒过定点，求出定点坐标即可；

解：(1) 由题意：，

∴，

则椭圆的方程为

(2) ∵斜率均存在

∴设直线方程为：，

再设，则有，

联立得：，

消去得：，

∴，即，

将上式中的换成，同理可得：，

若，解得：，直线斜率不存在，

此时直线过点；

下证动直线过定点，

若直线斜率存在，则，

直线为，

令，得，

综上，直线过定点；