Question

【题目】已知椭圆C：的焦距为2，左顶点与上顶点连线的斜率为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过点P（m，0）作圆x2+y2＝1的一条切线l交椭圆C于M，N两点，当|MN|的值最大时，求m的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由题意得，解方程组即可得解；

（Ⅱ）讨论切线l的斜率存在和不存在，当存在时设切线l方程为y＝k（x﹣m），与椭圆联立得（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4＝0，由直线与圆相切得，再利用弦长公式表示，从而得解.

（Ⅰ）由题意可知，解之得a＝2，b＝1.故椭圆C的标准方程为．

（Ⅱ）由题意知，|m|≥1，当|m|＝1时，．

当|m|＞1时，易知切线l的斜率存在，设切线l方程为y＝k（x﹣m）．

由，得（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4＝0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，

由于过点P（m，0）的直线l与圆x2+y2＝1相切，得 ，；

所以 ．

当且仅当，即时，|MN|＝2，即|MN|的最大值为2．

故m的值为．