【题目】设椭圆的离心率为,椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过的直线与椭圆交于两点,且两点与左右顶点不重合,若,求四边形面积的最大值。
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【题目】我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图所示,在空间直角坐标系的坐标平面内,若函数的图象与轴围成一个封闭区域,将区域沿轴的正方向上移4个单位,得到几何体如图一.现有一个与之等高的圆柱如图二,其底面积与区域面积相等,则此圆柱的体积为__________.
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【题目】以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标为,若直线的极坐标方程为,曲线的参数方程是(为参数).
(1)求直线l和曲线的普通方程;
(2)设直线l和曲线交于两点,求.
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【题目】已知函数,若存在实数,使得等式对于定义域内的任意实数均成立,则称函数为“可平衡”函数,有序数对称为函数的“平衡”数对.
(1)若,判断是否为“可平衡”函数,并说明理由;
(2)若且,均为的“可平衡”数对,当时,方程有两个不相等的实根,求实数的取值范围.
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【题目】函数的部分图象如图所示,点A,B,C在图象上,,,并且轴
(1)求和的值及点B的坐标;
(2)若,且,求的值;
(3)将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,再将所得图象各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,最后将所得图象向右平移个单位,得到的图象,若关于x的方程在区间上有两个不同解,求实数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆C:的焦距为2,左顶点与上顶点连线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过点P(m,0)作圆x2+y2=1的一条切线l交椭圆C于M,N两点,当|MN|的值最大时,求m的值.
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【题目】已知椭圆:的离心率为,直线:与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)矩形在轴右侧,且顶点、在直线上,顶点、在椭圆上,若矩形的面积为,求直线的方程.
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【题目】已知函数, (为常数).
(1)若函数与函数在处有相同的切线,求实数的值;
(2)若,且,证明: ;
(3)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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