Question

（2010•沅江市模拟）椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）的两个焦点分别是F₁、F₂，等边三角形的边AF₁、AF₂与该椭圆分别相交于B、C两点，且2|BC|=|F₁F₂|，则该椭圆的离心率等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3 -1

  2

• C．

  3

  -1
• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由△A为正三角形可得∠AF₁F₂=∠A=60°，则可求直线AF₁，AF₂的斜率，进而可求所在的直线方程，其交点，而AF₁中点B在椭圆上，代入椭圆的方程，结合b²=a²-c²及0＜e＜1可求该椭圆的离心率．

解答：解：由△AF₁F₂为正三角形可得∠AF₁F₂=∠AF₂F₁=60°
则直线AF₁，AF₂的斜率分别为

3

，-

3

则直线AF₁，AF₂所在的直线方程分别为y=

3

(x+c)，y=-

3

(x-c)，
其交点A（0，

3

c），由于2|BC|=|F₁F₂|，得BC是三角形的中位线，得B是AF₁的中点，
从而AF₁中点B（ -

1

2

c，

3

2

c）在椭圆上，代入椭圆的方程可得

c2

4a2

+

3c2

4b2

=1
整理可得，c²（a²-c²）+3c²a²=4a²（a²-c²）
∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0
两边同时除以a⁴可得，e⁴-8e²+4=0
∵0＜e＜1
∴e2=4-2

3

，e2=2+

3

（舍）
∴e=

3

-1
故选C．

点评：本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用，考查计算能力和数形结合思想．