【题目】已知函数f(x)=ax+ 的图象经过点A(1,1),B(2,﹣1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)求f(x)在区间[ ,1]上的值域.
【答案】
(1)解:∵f(x)的图象过A(1,1)、B(2,﹣1),
∴ ,解得 ,
∴
(2)证明:设任意x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
f(x1)﹣f(x2)=(﹣x1+ )﹣(﹣x2+ )
=(x2﹣x1)+ =
由x1,x2∈(0,+∞)得,x1x2>0,x1x2+2>0.
由x1<x2得,x2﹣x1>0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数 在(0,+∞)上为减函数
(3)解:由(2)知,函数 在[ ,1]上为减函数,
∴f(x)min=f(1)=1, ,
∴f(x)的值域是
【解析】(1)由待定系数法求出函数的解析式。(2)根据函数单调性的定义证明即可。(3)利用函数的单调性定义可得结果。
【考点精析】认真审题,首先需要了解奇偶性与单调性的综合(奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性).
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD= ,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(1)求证:PO⊥平面ABCD;
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(3)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知命题p:存在x∈(﹣∞,1)使得x2﹣4x+m=0成立,命题q:方程 表示焦点在x轴上的椭圆.
(1)若p是真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p或q是假命题,求实数m的取值范围.
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【题目】设函数 ,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
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【题目】已知等差数列{an}的公差d不等于0,Sn是其前n项和,给出下列命题:
①给定n(n≥2,且n∈N*),对于一切k∈N*(k<n),都有an﹣k+an+k=2an成立;
②存在k∈N* , 使得ak﹣ak+1与a2k+1﹣a2k﹣3同号;
③若d>0.且S3=S8 , 则S5与S6都是数列{Sn}中的最小项
④点(1, ),(2, ),(3, ),…,(n, )(n∈N*),…,在同一条直线上.
其中正确命题的序号是 . (把你认为正确的命题序号都填上)
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【题目】已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.
(1)求数列{bn}的通项bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+ ),a>0,且a≠1,记Sn是数列{an}的前n项的和.试比较Sn与 logabn+1的大小,并证明你的结论.
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【题目】如图,半径为2的半圆有一内接梯形ABCD,它的下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆周上.若双曲线以A、B为焦点,且过C、D两点,则当梯形ABCD的周长最大时,双曲线的实轴长为 .
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【题目】已知f(x)=ex , g(x)=x+1.
(1)证明:f(x)≥g(x);
(2)求y=f(x),y=g(x)与x=﹣1所围成的封闭图形的面积.
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