Question

【题目】已知等差数列{an}的公差d不等于0，Sn是其前n项和，给出下列命题：
①给定n（n≥2，且n∈N*），对于一切k∈N*（k＜n），都有an﹣k+an+k=2an成立；
②存在k∈N* ， 使得ak﹣ak+1与a2k+1﹣a2k﹣3同号；
③若d＞0．且S3=S8 ， 则S5与S6都是数列{Sn}中的最小项
④点（1， ），（2， ），（3， ），…，（n， ）（n∈N*），…，在同一条直线上．
其中正确命题的序号是 ． （把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：对于①，由等差中项的性质，可得给定n，对于一切k∈N+（k＜n），都有an﹣k+an+k=2an ， 故①正确；
对于②，ak﹣ak+1和ak﹣ak﹣1符号相反，故②不正确；
对于③，当d＞0，且S3=S8时，可得a1＜0，a4+a5+a6+a7+a8=0，即5a6=0，a6=0，
则S5和S6都是{Sn}中的最小项，故③正确；
对于④，因为等差数列{an}的公差d≠0，所以Sk=ka1+ ， =a1+ d
当k≥2（k∈N）时， = = d（d为常数），
所以点（1， ），（2， ），（3， ），…，（n， ）（n∈N*），…，在同一条直线上，故④正确．
所以答案是：①③④．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，以及对等差数列的性质的理解，了解在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列．