【题目】设函数 ,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
【答案】
(1)解:方程7x﹣4y﹣12=0可化为 ,当x=2时,
,
又 ,于是
,解得
,故
(2)解:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由 知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为
,即
令x=0,得 ,从而得切线与直线x=0的交点坐标为
;
令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0);
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为 .
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
【解析】(1)已知曲线上的点,并且知道过此点的切线方程,容易求出斜率,又知点(2,f(2)在曲线上,利用方程联立解出a,b(2)可以设P(x0 , y0)为曲线上任一点,得到切线方程,再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立,得到交点坐标,接着利用三角形面积公式即可.
【考点精析】本题主要考查了导数的几何意义和一般式方程的相关知识点,需要掌握通过图像,我们可以看出当点趋近于
时,直线
与曲线相切.容易知道,割线
的斜率是
,当点
趋近于
时,函数
在
处的导数就是切线PT的斜率k,即
;直线的一般式方程:关于
的二元一次方程
(A,B不同时为0)才能正确解答此题.
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【题目】已知点P(1,3),圆C:(x﹣m)2+y2= 过点A(1,﹣
),F点为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线PF与圆相切.
(1)求m的值与抛物线的方程;
(2)设点B(2,5),点 Q为抛物线上的一个动点,求 的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,点M是PD的中点,作ME⊥PC,交PC于点E.
(1)求证:PB∥平面MAC;
(2)求证:PC⊥平面AEM;
(3)求二面角A﹣PC﹣D的大小.
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【题目】某校在“普及环保知识节”后,为了进一步增强环保意识,从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试.经统计,这批学生测试的分数全部介于75至100之间.将数据分成以下5组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)现采用分层抽样的方法,从第3,4,5组中随机抽取6名学生座谈,求每组抽取的学生人数;
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值在第几组(只需写出结论).
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【题目】已知椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣3,0)、F2(3,0),直线y=kx与椭圆交于A、B两点.
(1)若三角形AF1F2的周长为 ,求椭圆的标准方程;
(2)若 ,且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点,求直线y=kx斜率k的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=ax+ 的图象经过点A(1,1),B(2,﹣1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)求f(x)在区间[ ,1]上的值域.
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