Question

已知函数f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若直线l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间（a∈R）．

Answer 1

分析：（1）求导函数，求出切线的斜率，切点的坐标，根据切点和斜率写出切线的方程，又切线l与已知圆相切，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）确定f（x）的定义域，再分类讨论，利用导函数的正负即可得到函数的单调区间．

解答：解：（1）由题意可得，f′（x）=a+

1

x-2

，
把x=1代入f（x）得：f（1）=a，则切点坐标为（1，a），
把x=1代入导函数中得：f′（1）=a-1，则切线的斜率k=a-1，
所以切线方程l为：y-a=（a-1）（x-1），即（a-1）x-y+1=0，
又圆心坐标（-1，0），半径r=1，由l与圆（x+1）²+y²=1相切，则圆心到直线l的距离d=

|1-a+1|

(a-1)2+1

=1，解得a=1；
（2）由2-x＞0，解得x＜2，得到f（x）的定义域为（-∞，2），
①当a≤0时，f′（x）=a+

1

x-2

＜0，函数单调减，
∴函数的单调减区间为（-∞，2），
②当a＞0时，f′（x）=a+

1

x-2

＞0，解得x＜2-

1

a

，
∵2-

1

a

＜2，∴函数的单调增区间为(-∞，2-

1

a

)
f′（x）=a+

1

x-2

＜0，解得x＞2-

1

a

，
∴函数的单调减区间为(2-

1

a

，2)．

点评：本题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负得到函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，是一道中档题．