Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，
AB=

2

AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且

PE

ED

=

BF

FA

=λ(λ＞0)
（1）判断EF与平面PBC的关系，并证明；
（2）当λ为何值时，DF⊥平面PAC？并证明．

Answer 1

分析：（1）作FG∥BC交CD于G，根据线段间的比例关系可得

PE

ED

=

CG

GD

，PC∥EG，得到平面PBC∥平面EFG，
从而得到EF∥平面PBC．
（2）当λ=1时，DF⊥平面PAC．证明∠AFD=∠CAD，AC⊥DF，PA⊥DF，可得 DF⊥平面PAC．

解答：解：（1）作FG∥BC交CD于G，连接EG，则

BF

FA

= 

CG

GD

，

PE

ED

= 

BF

FA

= λ，∴

PE

ED

=

CG

GD

，
∴PC∥EG．又FG∥BC，BC∩PC=C，FG∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG．又EF不在平面PBC内，
∴EF∥平面PBC．
（2）当λ=1时，DF⊥平面PAC．
证明如下：∵λ=1，则F为AB的中点，又AB=

2

AD，AF=

1

2

AB，
∴在 Rt△FAD 与 Rt△ACD中，tan∠AFD=

AD

AF

=

AD

2 2 AD

=

2

，tan∠CAD=

CD

AD

=

2 AD

AD

=

2

，
∴∠AFD=∠CAD，∴AC⊥DF，又PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴PA⊥DF，∴DF⊥平面PAC．

点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用，判断λ=1时，DF⊥平面PAC，
是解题的难点．