Question

17．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，F₁，F₂是其两个焦点，点M、N在双曲线上．
（1）若M、N的中点为（2，$\frac{9}{2}$），求直线MN的方程．
（2）若∠F₁MF₂=60°时．求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）利用点差法，结合M、N的中点为（2，$\frac{9}{2}$），求出直线的斜率，即可求直线MN的方程．
（2）若∠F₁MF₂=60°，利用余弦定理，结合三角形的面积公式，即可求△F₁MF₂的面积．

解答 解：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=9，
M，N代入双曲线方程，相减可得$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）-$\frac{1}{9}$（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴$\frac{1}{4}$×4（x₁-x₂）-$\frac{1}{9}$×9（y₁-y₂）=0，
∴k_MN=1，
∴直线MN的方程y-$\frac{9}{2}$=x-2，即2x-2y+5=0．
（2）设|F₁M|=m，|F₂M|=n，
∠F₁MF₂=60°，在△F₁MF₂中，由余弦定理可得4c²=m²+n²-2mncos60°
即52=（m-n）²+mn，
∴mn=36，
∴△F₁MF₂的面积=$\frac{1}{2}mnsin60°$=9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．