Question

如图，抛物线C₁：y²=4x和圆C₂：（x-1）²+y²=1，直线l经过C₁的焦点F，依次交C₁，C₂于A，B，C，D四点，则

AB

•

CD

的值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，设出直线方程，分别和抛物线与题意方程联立后求出A，B，C，D的坐标，求出向量

AB

、

CD

的坐标，代入数量积公式得答案．

解答： 解：由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，
由抛物线C₁：y²=4x，得F（1，0），
则直线l的方程为y-0=k（x-1），即y=kx-k．
联立

y=kx-k y2=4x

，得k²x²-2k²x-4x+k²=0，
解得：A(1+

2

k2

-

2 k2+1

k2

，

2

k

-

2 k2+1

k

)，D(1+

2

k2

+

2 k2+1

k2

，

2

k

+

2 k2+1

k

)，
联立

y=kx-k (x-1)2+y2=1

，得B（1-

1

k2+1

，-

k

k2+1

），C（1+

1

k2+1

，

k

k2+1

），

AB

=(-

1

k2+1

-

2

k2

+

2 k2+1

k2

，-

k

k2+1

-

2

k

+

2 k2+1

k

)，

CD

=(

2

k2

+

2 k2+1

k2

-

1

k2+1

，

2

k

+

2 k2+1

k

-

k

k2+1

)．
∴

AB

•

CD

=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的数量积运算，考查了学生的计算能力，是中档题．