Question

（本小题满分12分）

如图椭圆的右顶点是，上下两个顶点分别为，四边形是矩形（为原点），点分别为线段的中点．

（Ⅰ）证明：直线与直线的交点在椭圆上；

（Ⅱ）若过点的直线交椭圆于两点，为关于轴的对称点（不共线），

问：直线是否经过轴上一定点，如果是，求这个定点的坐标，如果不是，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）直线经过轴上的点

【解析】（1）易求A、B、D、E、M的坐标，然后求出DE、BM的方程，两直线方程联立解方程组可求出其交点.再验证交点坐标满足椭圆方程，从而证明交点在椭圆上.

（2）先设出RS的方程，与椭圆方程联立，消y后得关于x的一元二次方程，设出交点R、S的坐标，表示出SK的方程，令y=0得到它与x轴的交点的模坐标，然后再借助直线RS的方程和韦达定理，证明x的值是常数即可.

解：（1）由题意，得，

所以直线的方程，直线的方程为，------2分

由，得，

所以直线与直线的交点坐标为，---------------4分

因为，所以点在椭圆上．---------6分

（2）设的方程为，代入，

得，

设，则，

 ，

直线的方程为，

令得，

将，代入上式得，设，

所以直线经过轴上的点．---------12分