【题目】已知
.
(1)若是
上的增函数,求
的取值范围;
(2)若函数有两个极值点,判断函数
零点的个数.
【答案】(1) (2) 三个零点
【解析】
(1) 由题意知恒成立,构造函数
,对函数求导,求得函数最值,进而得到结果;(2)当
时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点,再证
,
.
(1)由得
,
由题意知恒成立,即
,设
,
,
时
,
递减,
时,
,
递增;
故,即
,故
的取值范围是
.
(2)当时,
单调,无极值;
当时,
,
一方面,,且
在
递减,所以
在区间
有一个零点.
另一方面,,设
,则
,从而
在递增,则
,即
,又
在
递增,所以
在区间
有一个零点.
因此,当时
在
和
各有一个零点,将这两个零点记为
,
,当
时
,即
;当
时
,即
;当
时
,即
:从而
在
递增,在
递减,在递增;于是
是函数的极大值点,
是函数的极小值点.
下面证明:,
由得
,即
,由
得
,
令,则
,
①当时
,
递减,则
,而
,故
;
②当时
,
递减,则
,而
,故
;
一方面,因为,又
,且
在
递增,所以
在
上有一个零点,即
在
上有一个零点.
另一方面,根据得
,则有:
,
又,且
在
递增,故
在
上有一个零点,故
在
上有一个零点.
又,故
有三个零点.
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【题目】为发展业务,某调研组对,
两个公司的产品需求量进行调研,准备从国内
个人口超过
万的超大城市和
(
)个人口低于
万的小城市随机抽取若干个进行统计,若一次抽取
个城市,全是小城市的概率为
.
(1)求的值;
(2)若一次抽取个城市,则:①假设取出小城市的个数为
,求
的分布列和期望;
②若取出的个城市是同一类城市,求全为超大城市的概率.
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【题目】已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点,且该椭圆的离心率为
,
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程:
(Ⅱ)求过点的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若
,求
的面积.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,点
是椭圆上任意一点,
的最小值为
,且该椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆
上不同的两点,且
,若
,试问直线
是否经过一个定点?若经过定点,求出该定点的坐标;若不经过定点,请说明理由.
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【题目】(多选)已知函数,其中正确结论的是( )
A.当时,函数
有最大值.
B.对于任意的,函数
一定存在最小值.
C.对于任意的,函数
是
上的增函数.
D.对于任意的,都有函数
.
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【题目】设函数.
(1)若,
,求函数
的极值;
(2)若是函数
的一个极值点,试求出
关于
的关系式(即用
表示
),并确定
的单调区间;(提示:应注意对
的取值范围进行讨论)
(3)在(2)的条件下,设,函数
,若存在
使得
成立,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设,
,
是椭圆
上关于
轴对称的任意两个不同的点,连结
交椭圆
于另一点
,证明:直线
与
轴相交于定点
.
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