Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明：直线与轴相交于定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）求椭圆的方程即求出参数的值，从条件中列出两个关于的方程，构成方程组求解；

（2）设出，，三点坐标，设出直线方程，运用 “设而不求”的思想方法，用表示出，，借助，表示直线与轴的交点，进而代入求解出点坐标.

解：（1）因为，

所以，

设以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆方程为，

则圆心到直线的距离，

解得，代入中，

即，

解得：，

故椭圆的方程为，

（2）设，，

由题知斜率肯定存在，设直线方程为，

联立，

整理得，

则，，

直线的方程为：，

令，

则，

将，代入

得，

所以，

故直线过定点.