Question

【题目】已知多面体中，，，，，为的中点。

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求异面直线和所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)取CE中点F，连接BF，OF，由几何关系可证得四边形ABFO为平行四边形，结合线面平行的性质定理可得题中的结论；

(Ⅱ)取DE中点M，连接AF，由题意可证得ABEM为平行四边形，从而∠CAM或其补角为AC与BE所成的角.求得三角形的边长，利用余弦定理可得异面直线AC和BE所成角的余弦值.

(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论可知∠DBF就是直线BD与平面BEC所成角，利用边长的比值关系可得与平面所成角的正弦值.

(Ⅰ)取CE中点F，连接BF，OF，

∵O为CD的中点，

∴OF∥DE，且OF=DE，

∵AB//DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，

∴OF∥AB，OF=AB，

则四边形ABFO为平行四边形，

∴AO//BF，BF平面BCE，AO平面BCE，

∴AO//平面BCE；

(Ⅱ)取DE中点M，连接AF，

∵AB∥DE，AB=1，DE=2，

∴AB∥ME，AB=ME ，

∴ABEM为平行四边形.

∴AM//BE.

∴∠CAM或其补角为AC与BE所成的角.

∵DE⊥平面ACD，AD，CD平面ACD，

∴DE⊥CD，DE⊥AD，

在中，CD=2，DM=1，，

在中，AD=2，DM=1，，

.

所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.

(Ⅲ)由题意可得BF//AO，

∵AO⊥平面CDE，∴BF⊥平面CDE，∴BF⊥DF.

∵CD=DE，∴DF⊥CE，

∵BF∩CE=F，∴DF⊥平面CBE；

∴∠DBF就是直线BD与平面BEC所成角.

在△BDF中，，

.