Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，且，

（1）证明：平面平面．

（2）若为侧棱的中点，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）在梯形中，可证，再由，进而有平面，即可证明结论；

（2）由已知可得，由（1）得，可证平面，建立空间直角坐标系，确定坐标，求出平面法向量坐标，取平面的法向量为，根据空间向量的面面角公式，即可求解.

（1）在底面中，，

且，

，，，

又平面，

平面，平面，

又平面，平面平面．

（2），，，

又，，平面，

平面，平面．

取BC的中点E，则AE、AD、AP三条直线两两垂直，

以为坐标原点，所在的直线分别为轴，

建立空间直角坐标系，，

，所以，

，

由（1）知平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，

所以平面的一个法向量为，

所以，

，

所以二面角的正弦值．