Question

【题目】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为

求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

若把曲线上给点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.

Answer 1

【答案】（1） ，；（2）

【解析】

（1）消去参数t可得直线l的普通方程,由极坐标与直角坐标互化公式得曲线C1的直角坐标方程；

（2）根据坐标变换公式得曲线C2的参数方程，再根据点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得最大值．

（1）由（t为参数），得，即.故直线的普通方程是.

由，得，即.

代入得.故曲线的直角坐标方程是.

（2）曲线的直角坐标方程化为参数方程是（为参数），若把曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，

纵坐标伸长为原来的倍，得到的曲线的参数方程（为参数）.

由点到直线的距离公式得，点到直线的距离是

，其中.

当时，取得最大值，且最大值为.