Question

【题目】已知函数()，().

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，过上一点作的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）2条切线，理由见解析

【解析】

（1）把转化为：，要使得恒成立，即满足的最小值大于0.

（2）设切点，则，对方程化简，判断的个数即可，得出切线的条数.

（1）令()

所以

令，解得. 当变化时，，的变化情况如下表：

	-	0	+
	减	极小值	增

所以在的最小值为

令，解得.

所以当时，恒成立，即恒成立.

（2）可作出2条切线.

理由如下：当时，.

设过点的直线与相切于点，

则即

整理得

令，则在上的零点个数与切点的个数一一对应.

，令解得.

当变化时，，的变化情况如下表：

	-	0	+
	减	极小值	增

所以在上单调递减，在上单调递增.

且

所以在和上各有一个零点，即有两个不同的解.

所以过点可作出的2条切线.