【题目】已知函数.
(1)试判断函数的单调性;
(2)若函数在
上有且仅有一个零点,
①求证:此零点是的极值点;
②求证:.
(本题可能会用到的数据:)
【答案】(1)见解析;(2)①证明见解析;②证明见解析.
【解析】
(1)求出,由
,得
,对参数
分类讨论,当
时,
恒成立,求出单调区间;当
,令
,求出方程的根,即可求得结论;
(2)①求出,可判断
在
单调递增,根据零点存在性定理可得,
,使得
,结合
的单调性,可得
,
时,
,
在
单调递减,
单调递增,
在
上有且仅有一个零点,此零点为极小值点
;
②由①得,
,且
,整理得
,且
,
为函数
的零点,通过求导判断
的单调性,结合零点存在性定理,可求
,根据
在
单调递增,即可求出结论.
(1)∵,
∵,∴
,∴
时,
恒成立,
所以在
单调递增,没有单调递减区间.
时,设
,则对称轴
,
,
解不等式可得:
,或
,
所以此时的单调递增区间为
和
.
单调递减区间是,
综上:时,单调递增区间是
,没有单调递减区间:
时,单调递增区间为
和
,
单调递减区间是;
(2)①∵,
∴在
单调递增,又因为
,
∴,使得
,且
时,
时,
,
∴在
单调递减,
单调递增,
∵在
上有且仅有一个零点,
∴此零点为极小值点;
②由①得,即
,
解得:,且
,
设,
,
∵,
则在
单调递减,
因为,
,∴
,
又因为在
单调递增,
,
,
∴.
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【题目】如图所示,、
是两个垃圾中转站,
在
的正东方向
千米处,
的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾,政府决定在
的北面建一个垃圾发电厂
.垃圾发电厂
的选址拟满足以下两个要求(
、
、
可看成三个点):①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相同;②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点
到直线
的距离要尽可能大).现估测得
、
两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为
吨和
吨.设
.
(1)求(用
的表达式表示);
(2)垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?
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【题目】给出下列六个命题:
(1)若,则函数
的图像关于直线
对称.
(2)与
的图像关于直线
对称.
(3)的反函数与
是相同的函数.
(4)无最大值也无最小值.
(5)的最小正周期为
.
(6)有对称轴两条,对称中心有三个.
则正确命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为
(t为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为
.
(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;
(2)设点,直线l与曲线C相交于A,B两点,求
的值.
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【题目】一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出,需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住,罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形,高1.8米,体积0.5立方米,其底部是直径为0.9米的圆形,要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米,气体每立方米1000元,则气体费用最少为( )元
A.4500B.4000C.2880D.2380
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【题目】设函数,
.
(1)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)是函数
的极值点,求函数
的单调区间;
(3)在(2)的条件下,,若
,
,使不等式
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的顶点到直线l1:y=x的距离分别为
和
.
(1)求椭圆C的标准方程
(2)设平行于l1的直线l交C于A,B两点,且,求直线l的方程.
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