Question

已知抛物线y²=2px，（p＞0）的焦点为F，且焦点F到其准线的距离为

3

2

，A，B，C为抛物线上相异三点．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若

FA

+

FB

+

FC

=

0

，求证：|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|为定值；
（Ⅲ）若A，F，C三点共线，直线BF交抛物线于另一点D，且AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线y²=2px和焦点F(

p

2

，0)，准线方程：x=-

p

2

，焦点F到准线的距离为

3

2

，即可求得p值；
（Ⅱ）设点A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），由（1）知F(

3

4

，0)，∵

FA

+

FB

+

FC

=

0

，求得x₁+x₂+x₃的值，进而利用抛物线的定义推断出|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=（x₁+1）+（x₂+1）+（x₃+1）把x₁+x₂+x₃的值代入即可求得答案．
（Ⅲ）由（1）知F(

3

4

，0)，抛物线方程为：y²=3x，显然AC，BD都不垂直于坐标轴，设直线AC的方程为：x=my+

3

4

，可得到AC的方程然后与抛物线联立得到两根之和、两根之积，根据弦长公式表示出|AC|并化简，然后根据直线AC的斜率可得到直线BD的斜率求出|BD|的弦长，再表示出S_{四边形ABCD}运用基本不等式可确定答案．

解答：解：（Ⅰ）焦点F(

p

2

，0)，准线方程：x=-

p

2

，
∵焦点F到准线的距离为

3

2

，即

p

2

-(-

p

2

)=

3

2

，
∴p=

3

2

．
（Ⅱ）设点A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），由（1）知F(

3

4

，0)，
∵

FA

+

FB

+

FC

=

0

，即(xA-

3

4

，yA)+(xB-

3

4

，yB)+(xC-

3

4

，yC)=

0

，
∴xA-

3

4

+xB-

3

4

+xC-

3

4

=0，即xA+xB+xC=

9

4

，
由抛物线的定义：|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=(xA+

3

4

)+(xB+

3

4

)+(xC+

3

4

)=(xA+xB+xC)+

9

4

=

9

4

+

9

4

=

9

2

．
（Ⅲ）由（1）知F(

3

4

，0)，抛物线方程为：y²=3x，
显然AC，BD都不垂直于坐标轴，
设直线AC的方程为：x=my+

3

4

，
联立

x=my+ 3 4 y2=3x

得：y2-3my-

9

4

=0，
由韦达定理得，yA+yC，=3m，yA•yC=-

9

4

，
∴|AC|=

1+m2

|yA-yC|=

1+m2

(yA+yC)2-4yAyC

=3(1+m2)，
将上式中m用-

1

m

代换，得|BD|=3(1+

1

m2

)，
于是，S=

1

2

|AC|•|BD|=

9

2

(1+m2)•(1+

1

m2

)≥

9

2

•2m•

2

m

=18，
当且仅当m=±1时，上式取等号，故四边形ABCD面积的最小值为18．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，平面向量的基础知识．考查了学生分析问题和解决问题的能力．本题是抛物线和直线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题一般作为高考的压轴题出现，要想解答正确，就必须对基础知识熟练掌握．