Question

已知函数f（x）=2cos²x+sinx
（Ⅰ）若函数f（x）的定义为R，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）函数f（x）在区间[0，

π

2

]上是不是单调函数？请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）=2cos²x+sinx=-2(sinx-

1

4

)2+

17

8

及-1≤sinx≤1，即可求得函数f（x）的值域；
（Ⅱ）（证法一）：f′（x）=-4cosxsinx+cosx=cosx（1-4sinx），设α=arcsin

1

4

，易证当x∈（0，α）时，f′（x）＞0，当x∈（α，

π

2

）时，f′（x）＜0，从而知f（x）在区间[0，

π

2

]上不是单调函数；
（证法二：利用f（0）=f（

π

6

）=2，且[0，

π

6

]?[0，

π

2

]，即可判定f（x）在区间[0，

π

2

]上不是单调函数．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-2sin²x+sinx+2=-2(sinx-

1

4

)2+

17

8

，
∴当sinx=-1时，f（x）取得最小值-1，
当sinx=

1

4

时，f（x）取得最大值

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8

，
∴函数f（x）的值域为[-1，

17

8

]；
（Ⅱ）f（x）在区间[0，

π

2

]上不是单调函数；
（证法一）：∵f′（x）=-4cosxsinx+cosx=cosx（1-4sinx），
设α=arcsin

1

4

，可知：当x∈（0，α）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（0，arcsin

1

4

）上单调递增；
当x∈（α，

π

2

）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在区间（α，

π

2

）上单调递减．
∴f（x）在区间[0，

π

2

]上不是单调函数．
（证法二：∵f（0）=f（

π

6

）=2，且[0，

π

6

]?[0，

π

2

]，
∴f（x）在区间[0，

π

2

]上不是单调函数．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的最值，突出考查三角函数单调性的判断，考查创新思维与论证能力，属于中档题．