Question

在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为

x=sinθ+cosθ y=sin2θ

（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t为常数）．
（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；
（2）当t=-2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．

Answer 1

分析：（1）把曲线M的参数方程化为 y=x²-1，把曲线N的极坐标方程化为 x+y-t=0．由题意可得

y=x2-1 x+y-t=0

，有唯一解，即 x²+x-1-t=0 有唯一解，故有△=1+4+4t=0，由此求得t的范围．
（2）当t=-2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=-

5

4

，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+

5

4

=0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果．

解答：解：（1）曲线M

x=sinθ+cosθ y=sin2θ

（θ为参数），即 x²=1+y，即 y=x²-1．
把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t为常数）化为直角坐标方程为 x+y-t=0．
由曲线N与曲线M只有一个公共点，可得

y=x2-1 x+y-t=0

有唯一解，即 x²+x-1-t=0 有唯一解，
故有△=1+4+4t=0，解得t=-

5

4

．
（2）当t=-2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=-

5

4

，
故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+

5

4

=0之间的距离，为

|2- 5 4 |

2

=

3 2

8

．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．