Question

【题目】如图，四棱锥的底面是矩形， ⊥平面， ， .

(1)求证： ⊥平面；

(2)求二面角余弦值的大小；

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）利用空间向量证明线面垂直，即证平面的一个法向量为 ，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明为平面的一个法向量，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）利用空间向量求二面角，先利用解方程组的方法求出平面法向量，利用向量数量积求出两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角大小

试题解析:证：（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.

（2）由（1）得.

设平面PCD的法向量为，则，

即，∴故平面PCD的法向量可取为

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.

设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得.