Question

【题目】已知f（x）是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的有（　　）

①y＝|f（x）|；

②y＝f（x2+x）；

③y＝f（|x|）；

④y＝ef（x）+e﹣f（x）．

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由已知可得f（x）是R上的奇函数且单调递增，当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，然后结合函数的性质分别进行检验即可．

因为f（x）是R上的奇函数且单调递增，

故当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，

①g（﹣x）＝|f（﹣x）|＝|f（x）|＝g（x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）＝|f（x）|＝f（x）单调递增，符合题意；

②g（﹣x）＝f（x2﹣x）≠g（x），故不满足偶函数；

③g（﹣x）＝f（|﹣x|）＝f（|x|）＝g（x）为偶函数，且 x＞0时g（x）＝f（x）单调递增，符合题意；

④g（﹣x）＝ef（﹣x）+e﹣f（﹣x）＝e﹣f（x）+ef（x）＝g（x），满足偶函数，且x＞0时，f（x）＞0，ef（x）＞1，因为 在 单调递增，

由复合函数的单调性可知g（x）＝ef（x）+e﹣f（x）单调递增，符合题意．

故选：B．

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.