【题目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥BC,BB1BC,D是CC1的中点.
(1)证明:B1C⊥平面ABD;
(2)若AB=BC,E是A1C1的中点,求二面角A﹣BD﹣E的大小.
【答案】(1)详见解析;(2)60°.
【解析】
(1)设BC=2,证明△DCB∽△CBB1,得∠BDC=∠BCB1,可得∠DBC+∠BCB1=90°,则BD⊥B1C,由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,得BB1⊥AB,进一步得到AB⊥平面BCC1B1,从而有AB⊥B1C,进一步得到B1C⊥平面ABD;
(2)设BC=2,以B为坐标原点建立空间直角坐标系,分别求出平面ABD的一个法向量与平面BDE的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BD﹣E的大小.
(1)设BC=2,
∴,,.
∴,则△DCB∽△CBB1,得∠BDC=∠BCB1,
∵∠DBC+∠BDC=90°,
∴∠DBC+∠BCB1=90°,
得BD⊥B1C.
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,
∴BB1⊥平面ABC,
又AB平面ABC,
∴BB1⊥AB,
又∵AB⊥BC,BB1∩BC=B,
∴AB⊥平面BCC1B1,
而B1C平面BCC1B1,
∴AB⊥B1C,
又BD∩AB=B,
∴B1C⊥平面ABD;
(2)解:设BC=2,建立如图所示空间直角坐标系,
由(1)知,E(1,1,2),D(0,2,),
A(2,0,0),B1(0,0,),C(0,2,0).
由(1)知平面ABD的一个法向量,
,.
设平面BDE的一个法向量为.
由,
取z,得.
∴cos.
由图可知二面角A﹣BD﹣E为锐角,
则二面角A﹣BD﹣E的大小为60°.
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【题目】已知,分别是椭圆的左右焦点,其焦距为,过的直线与交于,两点,且的周长是.
(1)求的方程;
(2)若是上的动点,从点(是坐标系原点)向圆作两条切线,分别交于,两点.已知直线,的斜率存在,并分别记为,.
(ⅰ)求证:为定值;
(ⅱ)试问是否为定值?若是,求出该值;若不是,请说明理由.
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【题目】某生鲜批发店每天从蔬菜生产基地以5元/千克购进某种绿色蔬菜,售价8元/千克,若每天下午4点以前所购进的绿色蔬菜没有售完,则对未售出的绿色蔬菜降价处理,以3元/千克出售.根据经验,降价后能够把剩余蔬菜全部处理完毕,且当天不再进货.该生鲜批发店整理了过往30天(每天下午4点以前)这种绿色蔬菜的日销售量(单位:千克)得到如下统计数据(视频率为概率)(注:x,y∈N*)
每天下午4点前销售量 | 350 | 400 | 450 | 500 | 550 |
天数 | 3 | 9 | x | y | 2 |
(1)求在未来3天中,至少有1天下午4点前的销售量不少于450千克的概率.
(2)若该生鲜批发店以当天利润期望值为决策依据,当购进450千克比购进500千克的利润期望值大时,求x的取值范围.
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【题目】发展“会员”、提供优惠,成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式.某连锁店为了吸引会员,在2019年春节期间推出一系列优惠促销活动.抽奖返现便是针对“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动:“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会.抽奖机如图:抽奖者第一次按下抽奖键,在正四面体的顶点出现一个小球,再次按下抽奖键,小球以相等的可能移向邻近的顶点之一,再次按下抽奖键,小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一……每一个顶点上均有一个发光器,小球在某点时,该点等可能发红光或蓝光,若出现红光则获得2个单位现金,若出现蓝光则获得3个单位现金.
(1)求“银卡会员”获得奖金的分布列;
(2)表示第次按下抽奖键,小球出现在点处的概率.
①求,,,的值;
②写出与关系式,并说明理由.
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【题目】已知f(x)是R上的奇函数且单调递增,则下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的有( )
①y=|f(x)|;
②y=f(x2+x);
③y=f(|x|);
④y=ef(x)+e﹣f(x).
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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【题目】下图是2020年2月15日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例的折线统计图.则下列说法不正确的是( )
A.2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
B.武汉市在新冠肺炎疫情防控中取得了阶段性的成果,但防控要求不能降低
C.2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天
D.2020年2月15日到3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人
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【题目】如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.
(1)当a=2时,求证:﹣3≤f(x)≤3;
(2)若关于x的不等式f(x)≤x2﹣8x+20在R恒成立,求实数a的取值范围.
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