【题目】如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,从而求出∠CBP的大小. (2)第(2)问,可以利用几何法求,也可以利用向量法求解.
试题解析:
(1)
因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.
又BP平面ABP,所以BE⊥BP.又∠EBC=120°,所以∠CBP=30°.
(2)方法一:如图,取的中点H,连接EH,GH,CH.
因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,
所以AE=GE=AC=GC=.
取AG的中点M,连接EM,CM,EC,
则EM⊥AG,CM⊥AG,
所以∠EMC为所求二面角的平面角.
又AM=1,所以EM=CM=.
在△BEC中,由于∠EBC=120°,
由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,
所以EC=2,所以△EMC为等边三角形,
故所求的角为60°.
方法二:
以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.
由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1, ,3),C(-1, ,0),
故=(2,0,-3), =(1, ,0), =(2,0,3).
设=(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量,
由可得
取z1=2,可得平面AEG的一个法向量=(3,- ,2).
设=(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量.
由可得
取z2=-2,得平面ACG的一个法向量n=(3,- ,-2).
所以cos〈〉==.
故所求的角为60°.
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【题目】某公司有价值10万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值,假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足:① 与和的乘积成正比;② 当时,;③,其中为常数,且.
(1)设,求出的表达式,并求出的定义域;
(2)求出附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入的的值.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)若时,求与的交点坐标;
(2)若上的点到距离的最大值为,求.
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【题目】某市2011年至2017年新开楼盘的平均销售价格(单位:千元/平方米)的统计数据如下表:
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
销售价格 | 3 | 3.4 | 3.7 | 4.5 | 4.9 | 5.3 | 6 |
(1)求关于x的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况,并预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格。
附:参考公式: ,,其中为样本平均值。
参考数据: .
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【题目】设函数f (x)=ln x-x+1.
(1)讨论函数f (x)的单调性;
(2)证明当x∈(1,+∞)时, ;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
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【题目】已知二次函数.
(1)若方程两个根之和为4,两根之积为3,且过点(2,-1).求的解集;
(2)若关于的不等式的解集为.
(ⅰ)求解关于的不等式
(ⅱ)设函数,求函数的最大值
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