【题目】已知函数,
(1)写出函数的解析式;
(2)若直线与曲线
有三个不同的交点,求
的取值范围;
(3)若直线 与曲线
在
内有交点,求
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
(1)先分类讨论求出|f(x)|的解析式,即得函数的解析式;(2)当
时,直线
与曲线
只有2个交点,不符题意.当
时,由题意得,直线
与曲线
在
或
内必有一个交点,且在
的范围内有两个交点.由
消去
得
.令
,写出
应满足条件解得;(3)由方程组
消去
得
.由题意知方程在
,
内至少有一个实根,设两根为
,
,不妨设
,
,
.由根与系数关系得
,
.代入
求解即可.
(1)当,得
或
,此时
;
当,得
,此时
∴
(2)当时,直线
与曲线
只有2个交点,不符题意.
当时,由题意得,直线
与曲线
在
或
内必有一个交点,且在
的范围内有两个交点.
由,消去
得
.
令,则
应同时满足以下条件:
,
解得或
,所以
的取值范围为
(3)由方程组,消去
得
.
由题意知方程在内至少有一个实根,设两根为
,
不妨设,
,由根与系数关系得
,
∴
当且仅当时取等.
所以的取值范围为
.
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【题目】为了解某社区居民有无收看“奥运会开幕式”,某记者分别从某社区60~70岁,40~50岁,20~30岁的三个年龄段中的160人,240人,x人中,采用分层抽样的方法共抽查了30人进行调查,若在60~70岁这个年龄段中抽查了8人,那么x为( ) .
A. 90 B. 120 C. 180 D. 200
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【题目】已知函数,
的图象经过
和
两点,如图所示,且函数
的值域为
.过该函数图象上的动点
作
轴的垂线,垂足为
,连接
.
(I)求函数的解析式;
(Ⅱ)记的面积为
,求
的最大值.
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【题目】设点为坐标原点,椭圆
:
的右顶点为
,上顶点为
,过点
且斜率为
的直线与直线
相交于点
,且
.
(1)求椭圆的离心率
;
(2)是圆
:
的一条直径,若椭圆
经过
,
两点,求椭圆
的方程.
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【题目】现从某高中随机抽取部分高二学生,调査其到校所需的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中到校所需时间的范围是,样本数据分组为
.
(1)求直方图中的值;
(2)如果学生到校所需时间不少于1小时,则可申请在学校住宿.若该校录取1200名新生,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿;
(3)以直方图中的频率作为概率,现从该学校的高二新生中任选4名学生,用表示所选4名学生中“到校所需时间少于40分钟”的人数,求
的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数f(x)=alnx+x2+bx(a为实常数).
(1)若a=﹣2,b=﹣3,求f(x)的单调区间;
(2)若b=0,且a>﹣2e2 , 求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)设b=0,若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.
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【题目】设椭圆 +
=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为
.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(Ⅱ)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为 ,求直线AP的方程.
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