【题目】已知函数f(x)=lnx+1.
(Ⅰ)证明:当x>0时,f(x)≤x;
(Ⅱ)设 ,若g(x)≥0对x>0恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)证明:构造函数m(x)=f(x)﹣x=lnx+1﹣x, 得x=1;
当x∈(0,1)时,m'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,m'(x)<0;
∴[m(x)]max=m(1)=0;
∴m(x)≤0;
∴f(x)≤x;
(Ⅱ)若g(x)≥0对x>0恒成立等价于 对x>0恒成立;
记 ,问题等价于a≥G(x)max;
由(Ⅰ)知lnx+1≤x(当且仅当x=1时取得等号);
∴ (当且仅当x=1时取得等号);
故G(x)max=1,所以a≥1;
∴实数a的取值范围为[1,+∞)
【解析】(Ⅰ)先构造函数m(x)=lnx+1﹣x,然后求导,根据导数符号即可求出函数m(x)的最大值为0,即得到m(x)≤0,从而证得f(x)≤x;(Ⅱ)根据x>0, 便可解得
,而根据上面知lnx+1≤x恒成立,从而便可求得
的最大值,进而即可得出实数a的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.
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【题目】已知定圆:
,动圆
过点
且与圆
相切,记圆心
的轨迹为
.
(1)求曲线的方程;
(2)已知直线
交圆
于
两点.
是曲线
上两点,若四边形
的对角线
,求四边形
面积的最大值.
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【题目】已知定义在(0,+∞)上的连续函数y=f(x)满足:xf′(x)﹣f(x)=xex且f(1)=﹣3,f(2)=0.则函数y=f(x)( )
A.有极小值,无极大值
B.有极大值,无极小值
C.既有极小值又有极大值
D.既无极小值又无极大值
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【题目】某书店刚刚上市了《中国古代数学史》,销售前该书店拟定了5种单价进行试销,每种单价(元)试销l天,得到如表单价
(元)与销量
(册)数据:
单价 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
销量 | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(l)根据表中数据,请建立关于
的回归直线方程:
(2)预计今后的销售中,销量(册)与单价
(元)服从(l)中的回归方程,已知每册书的成本是12元,书店为了获得最大利润,该册书的单价应定为多少元?
附:,
,
,
.
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【题目】为了了解当下高二男生的身高状况,某地区对高二年级男生的身高(单位: )进行了抽样调查,得到的频率分布直方图如图所示.已知身高在
之间的男生人数比身高在
之间的人数少1人.
(1)若身高在以内的定义为身高正常,而该地区共有高二男生18000人,则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人?
(2)从所抽取的样本中身高在和
的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响,则所选出的2人中至少有一人身高大于185
的概率是多少?
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【题目】若一个人下半身长(肚脐至足底)与全身长的比近似为(
,称为黄金分割比),堪称“身材完美”,且比值越接近黄金分割比,身材看起来越好,若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72
,肚脐至足底长度为103
,根据以上数据,作为形象设计师的你,对TA的着装建议是( )
A.身材完美,无需改善B.可以戴一顶合适高度的帽子
C.可以穿一双合适高度的增高鞋D.同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子
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【题目】从高三抽出名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率分布直方图.试利用频率分布直方图求:
(1)这名学生成绩的众数与中位数;
(2)这名学生的平均成绩.
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【题目】为了实现绿色发展,避免浪费能源,某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法.为此,相关部分在该市随机调查了户居民六月份的用电量(单位:
)和家庭收入(单位:万元),以了解这个城市家庭用电量的情况.
用电量数据如下:
.
对应的家庭收入数据如下:
.
(Ⅰ)根据国家发改委的指示精神,该市计划实施阶阶梯电价,使
的用户在第一档,电价为
元/
;
的用户在第二档,电价为
元/
;
的用户在第三档,电价为
元/
,试求出居民用电费用
与用电量
间的函数关系;
(Ⅱ)以家庭收入为横坐标,电量
为纵坐标作出散点图(如图),求
关于
的回归直线方程(回归直线方程的系数四舍五入保留整数).
(Ⅲ)小明家的月收入元,按上述关系,估计小明家月支出电费多少元?
参考数据:,
,
,
,
.
参考公式:一组相关数据,
,…,
的回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
,
,其中
,
为样本均值.
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