Question

【题目】设点为坐标原点，椭圆：的右顶点为，上顶点为，过点且斜率为的直线与直线相交于点，且.

（1）求椭圆的离心率；

（2）是圆：的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程.

Answer 1

【答案】(1) .

（2）.

【解析】分析：（1）运用向量的坐标运算，可得M的坐标，进而得到直线OM的斜率，进而得证；

（2）由（1）知，椭圆方程设为，设PQ的方程，与椭圆联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，解方程即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程.

详解：（1）∵，，，所以.

∴，解得，

于是，∴椭圆的离心率为.

（2）由（1）知，∴椭圆的方程为即①

依题意，圆心是线段的中点，且.

由对称性可知，与轴不垂直，设其直线方程为，代入①得：

，

设，，则，，

由得，解得.

于是.于是

.

解得：，，∴椭圆的方程为.