Question

【题目】已知，分别是椭圆的左右焦点，其焦距为，过的直线与交于，两点，且的周长是.

（1）求的方程；

（2）若是上的动点，从点(是坐标系原点)向圆作两条切线，分别交于，两点.已知直线，的斜率存在，并分别记为，.

（ⅰ）求证：为定值；

（ⅱ）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①证明见解析；②是，定值为.

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，根据其焦距为，求得，直线过的焦点，且的周长是，可得，即可求得的方程；

（2）（ⅰ）设直线：，直线：，直线与圆相切，可得，化简得；同理可得.根据是一元二次方程，的两实数根，即可求得的值；（ⅱ）设.联立方程组，根据韦达定理和已知条件可得：的值；

（1）设椭圆的焦距为()，

则，

故：.

直线过的焦点，且的周长是，

，

.

.

椭圆的方程是.

（2）（ⅰ）从点(是坐标系原点)向圆作两条切线，分别交于，两点.已知直线，的斜率存在，并分别记为，

直线：，直线：.

直线与圆相切，

根据点到直线距离公式可得：

化简得；

同理可得.

是一元二次方程的两实数根，

则有

又点在上，

，即，

(定值).

（ⅱ）是定值，且定值为.

理由如下：

设.

联立方程组

解得

.

同理可得.

由（ⅰ）知，

，

(定值).