Question

【题目】已知双曲线的虚轴的一个顶点为，左顶点为，双曲线的左、右焦点分别为，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线的离心率为（ ）．

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

设直线所在直线的方程为，设，，，则可得，，从而可求出两向量的数量积的表达式，由二次函数的性质可求出当时，取得最小值，从而可求；当时，在处取得最大值，此时，，由可求出，进而可求离心率的值.

解：由题意可知，，则直线所在直线的方程为，

因为点在线段上，可设，其中．

设双曲线的焦距为，则，，，

从而，，

故．

因为，所以当时，取得最小值，

此时，．

当，即时，无最大值，所以不符合题意；

当，即时，在处取得最大值，此时，，

因为，所以，解得，符合题意．

综上，，，，故双曲线的离心率．

故选:A.