Question

【题目】过抛物线的焦点F任作两条互相垂直的直线，，分别与抛物线E交于A，B两点和C，D两点，则的最小值为________．

Answer 1

【答案】9

【解析】

解法一：设出直线的方程，分别与抛物线方程联立，求得、，由此求得的表达式，进而利用基本不等式，求得的最小值.

解法二：设直线AB的倾斜角为，结合抛物线的定义，利用表示出，然后利用基本不等式，求得的最小值.

解法一：由题意知，抛物线的焦点为．

由直线，与抛物线E分别交于两点且，直线，的斜率均存在且不为0，

故可设直线的方程为，

则直线的方程，

联立直线和抛物线E的方程，

得，

消去y得，

所以，

令代替此式中的，得，

因为，，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为9．

解法二 设直线AB的倾斜角为，点A在x轴上方，作垂直抛物线E的准线于，垂直x轴于，抛物线的准线交x轴于点G，

易知，

所以，

所以，

同理，

所以．

又DC与AB垂直，

所以直线DC的倾斜角为，

所以．

因为，

所以，

所以

，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为9．

故答案为：