Question

【题目】已知数列和的前项和分别为和，且，，，其中为常数.

（1）若，.

①求数列的通项公式；

②求数列的通项公式.

（2）若，.求证：.

Answer 1

【答案】（1）①，②（2）见解析．

【解析】

（1）①已知两等式相加可得是等比数列，从而可得通项公式，②已知两等式相减可得的递推关系式，凑配成一个新的等比数列，利用等比数列的通项公式可求得；

（2）已知两等式相加可得数列是等比数列，就是的前项和，分类求得这个和，在且时用数学归纳法证明不等式成立．

（1）若，，则有

由，得：

所以是公比为4的等比数列，首项，

所以；

由，得：

则

所以是公比为2的等比数列，首项，

所以，则；

（2）由，得，

∵，，∴数列是等比数列，

∴，

时，，不等式左边，右边，不等式成立；

时，，

不等式即为，

下面用数学归纳法证明：

（i）时，左边，右边，左边右边，不等式成立，

（ii）假设时，不等式成立，即，

∵，∴

则时，左边＝，

由归纳假设左边，

下面只要证，即证，

再用数学归纳法证明：

①时，不等式左边，右边，不等式成立，

②假设（）时不等式成立，即 ，

则时，，不等式也成立，

由①②得时，不等式成立，

∴时，不等式成立，

由（i）（ii），原不等式对一切正整数都成立．

综上，原不等式得证．