Question

【题目】已知椭圆的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点.

（1）若l过点F，点M，N到直线y＝2的距离分别为d1，d2，且，求l的方程；

（2）若点M的坐标为（0，1），直线m过点M交C于另一点N′，当直线l与m的斜率之和为2时，证明：直线NN′过定点.

Answer 1

【答案】（1）x﹣y﹣1＝0或x﹣2y﹣1＝0（2）证明见解析；

【解析】

（1）由若l过椭圆的右焦点F（1,0），设直线l的方程为x＝my+1，联立直线与椭圆方程，消去x，得交点M，N的纵坐标关系，因为点M，N到直线y＝2的距离分别为d1，d2，则d1+d2＝2﹣yM+2﹣yN＝4﹣（yM+yN），转化为m的方程，求得m即可.

（2）分类讨论，当直线NN'的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，消去一个变量，由韦达定理得出N，N'的坐标的关系式，再由当直线l与m的斜率之和为2，列出方程，求出直线方程，即可得直线NN'过定点（﹣1,﹣1）.

（1）易知F（1,0），设直线l的方程为x＝my+1，

由得（m2+2）y2+2my﹣1＝0.则yM+yN.

因为d1+d2＝2﹣yM+2﹣yN＝4﹣（yM+yN）＝4.

所以m＝1或m＝2.

故l的方程为x﹣y﹣1＝0或x﹣2y﹣1＝0.

（2）证明：当直线NN'的斜率不存在时，设N（x0,y0），则N'（x0,﹣y0）.

由kl+km＝2，得2，解得x0＝﹣1.

当直线NN'的斜率存在时，

设直线NN'的方程为y＝kx+t（t≠1），N（x1,y1），N'（x2,y2）.

由得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0.

所以x1+x2，x1x2；

因为kl+km＝2.

所以2k2k2k2.

所以t＝k﹣1，所以直线NN'的方程为y＝kx+k﹣1，即y+1＝k（x+1）.

故直线NN'过定点（﹣1,﹣1）.

综上，直线NN'过定点（﹣1,﹣1）.