Question

【题目】如图，在斜三棱柱中，，，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E，F分别是棱，的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与底面ABC所成的角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取BC的中点G，连接EG与的交点为P，连接PF，得到，利用线面平行的判定定理证明；

（Ⅱ）过作平面ABC，垂足为H，连接HC，得到就是直线与底面ABC所成的角，再利用题设条件和解三角形的知识，即可求解.

（Ⅰ）取BC的中点G，连接EG与的交点为P，则点P为EG的中点，连接PF，

在平行四边形中，因为为的中点，所以，

而平面，平面，故平面.

（Ⅱ）过作平面ABC，垂足为H，

连接HC，则就是直线与底面ABC所成的角，

连接AH，并延长交BC于点G，连接GE，

因为，所以为的角平分线，

又因为，所以，G为BC的中点，

因为，，所以，

而，，所以，

于是为二面角的平面角，

由于四边形为平行四边形，得，

因为，所以，

连接，因为，，，所以，

所以，

在直角中，，

故直线与底面ABC所成的角为.