Question

【题目】已知动直线与与椭圆交于、两不同点，且的面积，其中为坐标原点

（1）若动直线垂直于轴.求直线的方程；

（2）证明：和均为定值；

（3）椭圆上是否存在点，，，使得三角形面积若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）不存在，详见解析

【解析】

（1）由题意设直线，表示出点，后，利用即可求得m，即可得解；

（2）分直线斜率是否存在分类讨论；当直线斜率存在时，设直线，联立方程组可得，，由弦长公式及点到直线的距离公式可得，化简后可得，即可得解；

（3）假设存在点，，满足题目要求，由（2）可得，，进而可得点、、只能从四个点中选取三个不同的点，由这三点的连线中必有一条经过原点，与题设矛盾，即可得解.

（1）当直线垂直于轴时，设直线，

则点，，

所以，解得，所以，

故所求直线方程为；

（2）当直线斜率不存在时，由（1）知，，；

当直线斜率存在时，设直线，

则，消去得，

所以，，，

所以

，

点到直线的距离，

所以，

整理可得，满足，

所以，

；

综上，为定值1，,为定值2；

（3）假设存在点，，满足题目要求，

由（2）得，，，，，

，

解得，，

所以、、只能从中选取，、、只能从中选取，

故点、、只能从四个点中选取三个不同的点，

而这三点的连线中必有一条经过原点，与矛盾，

所以椭圆上不存在点、、，使得三角形面积.