Question

【题目】函数，．

（1）设是函数的导函数，求的单调区间；

（2）证明：当时，在区间上有极大值点，且．

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）详见解析．

【解析】

（1）求导可得，继续求导得到，判断的正负，进而可得到的单调区间；（2）由（1）可知，在上单调递减，结合时，，可以证明为的极大值点，同时可以知道，而，所以有，再构造函数，利用导数可证明，即可得证.

解：（1）定义域为，

，，

令，，，

∴在上单调递减，在上单调递增．

（2）由（1）可知在上单调递减，∵，∴，，，设，∵，，∴，∴，∴，使得，时，，时，，所以为函数的极大值点．

∵，即①，，当时，，且由（1）可知在上单调递减，所以，②，将①代入②整理得：，设，则，∴在上单调递减，∴，所以当时，恒成立．