【题目】已知函数.
(1)讨论在定义域内的极值点的个数;
(2)若对,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)证明:若,不等式
成立.
【答案】(1)当时,函数
有两个极值点;当
时,函数
没有极值点(2)
(3)证明见解析
【解析】
(1)求导可得,转化问题为
的变号零点个数,分别讨论
,
,
的情况即可;
(2)转化问题为在
上恒成立,设
,利用导函数求得
的最小值,进而求解;
(3)由(2)可得恒成立,即
,则欲证
,只需证
,设
,进而利用导函数求得
的最小值大于等于0即可.
(1)解:由题,
设,令
,即方程
,
,
当时,
,则
,此时
没有极值点;
当时,
,设方程
两根为
,
,不妨设
,
则,
,则
,
当或
时,
;
当时,
,
此时,
是函数
的两个极值点,
当时,
,设方程
两根为
,
,
则,
,所以
,
,
所以当时,
,故
没有极值点,
综上,当时,函数
有两个极值点;当
时,函数
没有极值点.
(2)解:由题,在
上恒成立,
则在
上恒成立,
即在
上恒成立,
设,
则,
因为,
当时,
,则
单调递减;当
,
,则
单调递增;
所以,
所以
(3)证明:由(2)知,所以
恒成立,
即,
欲证,
只需证,
设,则
,
当时,
,则
单调递减;当
时,
,则
单调递增,
所以,即
,
所以当时,不等式
成立.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若不过原点的直线
与椭圆
相交于
两点,与直线
相交于点
,且
是线段
的中点,求
面积的最大值.
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【题目】某班级四位学生
参加了文科综合知识竞赛,在竞赛结果公布前,地理老师预测得冠军的是
或
;历史老师预测得冠军的是
;政治老师预测得冠军的不可能是
或
;语文老师预测得冠军的是
,而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了,则得冠军的是_____。
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【题目】某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,
,
,
,
,
(单位:克)中,经统计的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这组数据平均数;
(2)现按分层抽样从质量为,
的芒果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率;
(3)某经销商来收购芒果,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总计,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个,经销商提出以下两种收购方案:
方案①:所有芒果以9元/千克收购;
方案②:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多.
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【题目】如图是某电视台主办的歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中为数字0~9中的一个),则下列结论中正确的是( )
A. 甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等
B. 甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高
C. 甲选手所有得分的中位数比乙选手所有得分的中位数低
D. 甲选手所有得分的众数比乙选手所有得分的众数高
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【题目】吸烟有害健康,远离烟草,珍惜生命。据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02,一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病,则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为( )
A. B.
C.
D. 不确定
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【题目】计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,
,
,在实际操作考试中“合格”的概率依次为
,
,
,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大?
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.
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【题目】杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,是中国古代数学的杰出研究成果之一.在欧洲,左下图叫帕斯卡三角形,帕斯卡在1654年发现的这一规律,比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年.某大学生要设计一个程序框图,按右下图标注的顺序将表上的数字输出,若第5次输出数“1”后结束程序,则空白判断框内应填入的条件为( )
A. B.
C.
D.
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