Question

【题目】求具有如下性质的质数的最大值：存在1,2，，的两个排列（可以相同）与，使被除所得的余数互不相同.

Answer 1

【答案】2

【解析】

先证明引理.

引理（威尔逊定理）对任何质数，有， ①

引理的证明：当时，式①显然成立.

当时，我们证明：对任何，必存在，使.

实际上，对，有.

从而，构成模的完系.

于是，必存在，使，

显然，否则，矛盾

此外，如，则由，得，与矛盾.

如果，则由，得，与矛盾.

如果，由，得，

所以，，但矛盾.

因此，，且.

由此可知，乘积的各个因数可以配成对，每对中两个数的积模的余数为1.

从而，.

所以，.

现在解决原题.

不妨设，并设.

若，此时，.

又被除的余数互不相同.

所以， 被除的余数分别为.

则.

但另一方面，与是的两个排列，

所以

，

于是，. ②

若，则与式②矛盾，所以，，

又当时，令

此时，，.

所以，条件，故.