Question

【题目】在正方体的个顶点，个侧面（底面）的中心及体的中心共个点中，若由两两不同的且不共线的个点构成的平面与由另外个不同点构成的直线垂直，则称这个点为“正交点组”，那么，由这个点形成的正交点组的总个数为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

如图，设为体的中心，为各侧面中心.

按构成平面的那个点所在的平面（简称为“点平面”）进行分类讨论.

观察知点平面只有种可能：侧面（如），对角面（如），由三个顶点构成的正三角形（如），中心面（如）.

（1）当侧面为时，由可构成个不共线的点组（点平面，以下同），由可构成个点组，于是，由点组与点组可组合成个正交点组.另外，由点及中的某两个点可形成个不共线的点组，任取此个点组中的任何一个，例如，与此点组垂直的点组为，，，故可形成个正交点组.注意到，共有个侧面.从而，点组由侧面形成的正交点组一共有个.

（2）当对角面为时，可知点组由中的个点形成的正交点组共有个.因为一共有个对角面，所以，一共形成个该种类型的正交点组.

（3）当正三角形为时，点组由形成，点组由形成，所以，共有个正交点组.

（4）当中心面为时，点组由形成，共有个正交点组.因为共有个中心面，所以，一共有个该种类型的正交点组.

综上所述，一共有个正交点组. 选D.