Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，且不等式ax²-3x+2＞0的解集为（-∞，1）∪（b，+∞）．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=a_n•2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由不等式ax²-3x+2＞0的解集，利用韦达定理可求a，b，根据等差数列的通项公式及前n项和公式可求a_n，S_n
（2）由（1）可求b_n，然后利用错位相减可求T_n

解答：解：（1）∵ax²-3x+2＞0的解集为（-∞，1）∪（b，+∞），根据不等式解集的意义
可知：方程ax²-3x+2=0的两根为x₁=1、x₂=b．
利用韦达定理不难得出a=1，b=2．
由此知a_n=1+2（n-1）=2n-1，s_n=n²…（6分）
（2）由（1）可得：b_n=（2n-1）•2ⁿ∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ①
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②
由②-①得：T_n=-2（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2=-2•

2(1-2n)

1-2

+(2n-1)•2n+1+2=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6…（12分）

点评：本题主要考查了方程与不等式的相互转化的应用，及等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，解题的重点是错位相减法的应用．