Question

已知0＜x＜π，sinx+cosx=

1

5

．
（1）求cosx-sinx的值；
（2）求

sinxcosx-sin2x

1+tanx

的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式记作①，将已知等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系sin²x+cos²x=1化简，得出2sinxcosx的值，小于0，可得出sinx大于0，cosx小于0，然后利用完全平方公式化简（sinx-cosx）²，再利用同角三角函数间的基本关系化简，并将2sinxcosx的值代入，开方得到sinx-cosx的值，记作②，可得出cosx-sinx的值；
（2）联立①②组成方程组，求出方程组的解得到sinx与cosx的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanx的值，将sinx，cosx及tanx的值代入所求的式子中，化简后即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）∵0＜x＜π，sinx+cosx=

1

5

   ①，
∴（sinx+cosx）²=

1

25

，即sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx=

1

25

，
∴2sinxcosx=-

24

25

＜0，即sinx＞0，cosx＜0，
∴（sinx-cosx）²=sin²x-2sinxcosx+cos²x=1-sin2x=

49

25

，
∴sinx-cosx=

7

5

②，
则cosx-sinx=-

7

5

；
（2）联立①②解得：sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

，
∴tanx=

sinx

cosx

=-

4

3

，
则

sinxcosx-sin2x

1+tanx

=

4 5 ×(- 3 5 ) -( 4 5 )2

1- 4 3

=

84

25

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．