Question

13．若二次函数f（x）=x²+bx+c满足f（0）=f（-2），且f（1）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据所给条件，待定系数法求解b与c；
（2）据上一问的结果，将原不等式整理为m＜g（x）恒成立，当x∈[-1，1]，所以转化为求函数g（x）在给定区间的最小值问题．

解答 解：（1）由f（0）=f（-2），
则c=4-2b+c，即b=2．再有f（1）=3=1+b+c，则c=0，
故f（x）=x²+2x；
（2）由f（x）＞x+m恒成立，则x²+2x＞x+m；
∴x²+x＞m，
令g（x）=x²+x，故g（x）在区间[-1，1]上的最小值为g（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
∴m＜-$\frac{1}{4}$．

点评 1．待定系数求函数的解析式；2．二次函数求最值和恒成立问题的转化．