Question

1．若抛物线C₁：y=$\frac{1}{4}$x²的焦点F到双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线C₁上的动点P到双曲线C₂的一个焦点的距离与到直线y=-1的距离之和的最小时为$\sqrt{5}$，则双曲线C₂的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，利用抛物线C₁：y=$\frac{1}{4}$x²的焦点F到双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再利用抛物线的定义，结合抛物线C₁上的动点P到双曲线C₂的一个焦点的距离与到直线y=-1的距离之和的最小时为$\sqrt{5}$，可得c²+1=5，从而可求双曲线的几何量，可得结论．

解答 解：抛物线C₁：y=$\frac{1}{4}$x²的焦点F（0，1），双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx-ay=0，
∵抛物线C₁：y=$\frac{1}{4}$x²的焦点F到双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵直线y=-1是抛物线的准线，抛物线C₁上的动点P到双曲线C₂的一个焦点的距离与到直线y=-1的距离之和的最小时为$\sqrt{5}$，
∴根据抛物线的定义可知，当P，F及双曲线C₂的一个焦点三点共线时最小，
∴c²+1=5，
∴c=2，
∵c²=a²+b²，
∴b=$\sqrt{3}$，a=1，
∴双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故选：B．

点评 本题主要考查了抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．